19 Em quantos meses um capital quintuplica na capitalização simples à taxa de
7,5% ao mês?
a) 66,67 meses
b) 4,65 meses
c) 80 meses
d) 53,33 meses
 Resposta d
20 Uma empresa toma empréstimo de R$80.000,00 à taxa de 14,5% ao ano no
regime de capitalização simples. Sabendo que a amortização será feita quatro
meses após a contratação do empréstimo, calcule o montante a ser pago no
final deste período.
a) R$80.966,67
b) R$126.400,00
c) R$87.733,33
d) R$83.866,67
 Resposta d
21 Você aplicou R$5.000,00 à taxa de juro simples de 13% ao ano. Quantos anos
serão necessários para triplicar o valor?
a) 31 anos
b) 25 anos
c) 15 anos
d) 22 anos
 Resposta c
22 Em capitalização composta o valor dos juros é sempre:
a) Crescente, mas não é proporcional ao prazo
b) Crescente e proporcional ao prazo
c) Decrescente, mas não é proporcional ao prazo
d) Decrescente e proporcional ao prazo
 Resposta a
23 Em um investimento que está sob o regime de capitalização composta:
a) A taxa de juro em cada período de capitalização incide sobre o capital inicial
investido
b) Os juros em cada período de capitalização tendem a ser constantes
c) O valor dos juros gerados a cada período de capitalização decresce em função do
tempo
d) A taxa de juro incide sobre o capital inicial, acrescido dos juros acumulados até o
período de capitalização anterior
 Resposta d
24 Para taxas de juro positivas o montante final em capitalização composta:
a) É sempre maior que o capital inicial
b) Pode ser igual ao valor dos juros gerados
c) É igual ao quociente do valor dos juros sobre o capital inicial
d) É sempre igual ao capital inicial menos os juros gerados no período
 Resposta a

15- Um investidor faz empréstimo de R$140.000,00 à taxa de 1,95% ao mês no
regime de capitalização simples. Sabendo que a amortização será feita cinco
meses após a contratação do empréstimo, qual o valor a ser pago no final
deste período?
a) R$153.650,00
b) R$140.546,00
c) R$152.635,00
d) R$126.350,00
 Resposta a16 Se aplicarmos a quantia de R$50.000,00 pelo prazo de quatro meses, teremos
como remuneração desse capital a quantia de R$4.350,00. Qual é a taxa de
juro simples ao mês dessa operação?
a) 2,11% ao mês
b) 2,18% ao mês
c) 8,7% ao mês
d) 1,09% ao mês
 Resposta b
17 Um agente de mercado aplicou R$45.000,00 em determinado papel.
Considerando que a taxa de juro foi de 1,45% ao mês, pelo prazo de 51 dias,
calcule, no regime de capitalização simples, o valor de resgate desta operação.
Admita que um mês possua 30 dias corridos.
a) R$46.114,87
b) R$46.109,25
c) R$45.382,69
d) R$45.383,82
 Resposta b
18 Um agente financeiro aplicou R$85.000,00 em um período de 173 dias. Foi
totalizada uma quantia de R$15.500,00 de juro. Qual é a taxa de juro mensal
desta aplicação, considerando o regime de capitalização simples? Admita que
um mês tenha 30 dias corridos.
a) 2,95% ao mês
b) 3,16% ao mês
c) 25,71% ao mês
d) 19,48% ao mês
 Resposta b

10 O valor do montante em capitalização simples pode ser obtido:
a) Pela soma dos juros no período ao capital inicial
b) Pelo produto do capital inicial sobre a taxa de juro mais 1
c) Pela subtração dos juros em relação ao capital inicial multiplicado pelo prazo
d) Pelo produto dos juros no período ao capital inicial
 Resposta a
11 Você fez um empréstimo de R$5.000,00 a uma taxa de juro simples de 12% ao
ano a ser pago em dois anos. O valor a ser pago é próximo de:
a) R$6.200,00
b) R$6.270,00
c) R$4.030,00
d) R$4.070,00
 Resposta a
12 Qual o valor presente de uma aplicação em juros simples de cinco anos, taxa
de juro de 14% ao ano e valor de resgate, único, igual a R$100.000,00?
a) R$58.823,00
b) R$51.936,00
c) R$52.854,00
d) R$59.325,00
 Resposta a
13 Uma empresa toma empréstimo de R$150.000,00 à taxa de 1,8% ao mês no
regime de capitalização simples. Sabendo que a amortização será feita seis
meses após a contratação do empréstimo, calcule o montante a ser pago no
final deste período.
a) R$166.946,73
b) R$312.000,00
c) R$151.620,00
d) R$166.200,00
 Resposta d

5 Uma empresa precisa tomar um empréstimo de um ano a uma taxa de juro
capitalizada anualmente. Neste caso:
a) Para taxas iguais é melhor o sistema de capitalização simples
b) Para taxas iguais é melhor o sistema de capitalização composta
c) Para taxas iguais tanto faz qual seja o sistema de capitalização
d) Dependendo do valor é melhor o sistema de capitalização simples
 Resposta c

6 Para uma taxa de i% ao ano o valor acumulado sob o sistema de capitalização
composta sempre gera um montante __________ que o sistema de capitalização
simples?
a) Menor (para qualquer prazo)
b) Maior (para qualquer prazo)
c) Maior (para prazos superiores a um ano)
d) Menor (para prazos superiores a um ano)
 Resposta c
7 Considere um empréstimo a ser pago em uma única parcela a uma taxa de
juro simples. Neste caso, os juros são:
a) Proporcionais ao prazo
b) Maiores que o valor do empréstimo
c) Menores que o valor do empréstimo
d) Maiores que o valor da parcela
 Resposta a
8 Os juros em capitalização simples são sempre iguais ao:
a) Prazo multiplicado pela taxa de juro e pelo valor do capital inicial
b) Prazo multiplicado pela taxa de juro e pelo montante final
c) Valor dos juros somado ao capital inicial dividido pelo montante final
d) Valor do montante final subtraído dos juros e dividido pelo capital inicial
 Resposta a
9 Para uma mesma taxa de juro e mesmo prazo, o valor presente em capitalização
simples:
a) Dependendo do prazo pode ser maior ou menor que o obtido em capitalização
composta
b) É sempre maior ao obtido com capitalização composta
c) É sempre menor ao obtido com capitalização composta
d) É sempre igual ao obtido com capitalização composta
 Resposta a

matemática financeira

1-Para uma taxa de juro expressa ao ano o valor dos juros é maior sob qual
sistema de capitalização?
a) Sistema de capitalização composta para prazos menores que um ano
b) Sistema de capitalização simples para prazos menores que um ano
c) Sistema de capitalização simples qualquer que seja o prazo
d) Sistema de capitalização composta qualquer que seja o prazo
 Resposta b
2 O valor dos juros de uma aplicação prefixada com um único resgate é sempre
igual:
a) Ao valor de resgate da aplicação menos o valor da aplicação
b) Ao valor da aplicação menos o seu valor de resgate
c) À taxa de juro multiplicada pelo prazo e pelo valor do resgate se capitalização
simples
d) À taxa de juro multiplicada pelo prazo da aplicação
 Resposta a
3 O valor de resgate de uma aplicação prefixada com um único resgate é
igual ao:
a) Valor da aplicação mais os juros gerados no período
b) Valor da aplicação multiplicado pela taxa de juro e pelo prazo
c) Valor da aplicação dividido pela taxa de juro vezes o prazo da aplicação
d) Valor dos juros subtraído do valor da aplicação
 Resposta a
4 A taxa de juro é, normalmente, expressa em:
a) Porcentagem ao ano
b) Decimal ao ano
c) Porcentagem por dia útil
d) Decimal por dia útil
 Resposta a

matemática financeira

exercicio de Matemática financeira

 Uma empresa de cosmético possui R$ 80.000,00. Ela aplica 30% desse dinheiro em um investimento que rende juros simples a uma taxa de 3% ao mês, durante 2 meses; e aplica o restante em outro investimento que rende 2% ao mês durante 2 meses também. Ao fim desse período, esse investidor possui:

a) R$ 83.000,00

b) R$ 84.300,00

c) R$ 85.200,00

d) R$ 86.300,00

e) R$ 83.680,00

80000 . 30% = 80000.30/100 = 2400000/100 = 24000

Vamos calcular cada uma das aplicações:

* 24000 a 3% durante 2 meses:

24000.3% = 24000.3/100 = 72000/100 = 720

Em dois meses: 2.720 = 1440

* 56000 a 2% durante 2 meses:

56000.2% = 56000.2/100 = 112000/100 = 1120

Em dois meses: 2.1120 = 2240

Total de juros: 1440 + 2240 = 3680

Resposta: 80000 + 3680 = 83680,00

a vida sem numeros

A vida sem números

Cálculos matemáticos existem desde a Pré-História. Mas podemos dizer que algarismos não. Quando eles chegaram ao Ocidente, jogaram a Europa em uma revolução que transformou o conhecimento

por Claudia Castelo Branco e Felipe Van Deursen

Se hoje Pisa tem a torre torta mais famosa do mundo, isso se deve à sua pujança na Idade Média. O monumento começou a ser erguido em 1173, a fim de celebrar a boa fase econômica da cidade italiana. Seda, porcelana, couro, especiarias, passava de tudo por lá. O impulso mercante só não era maior porque comerciantes e consumidores tinham um problema, compartilhado com outros grandes centros da Europa: fazer contas era muito difícil. Não havia um sistema numérico que facilitasse a vida das pessoas (se você tem dificuldades com números, agradeça por não ter nascido naquela época). Os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 eram desconhecidos dos europeus. Tarefas como uma simples adição não era para qualquer um. Imagine um administrador alfandegário somando CCXXXII sacas de trigo com MDCCCLII garrafas de vinho. Demoraria para chegar à resposta (MMLXXXIV, também conhecido como 2 084). E calcular isso não soa difícil porque não estamos acostumados aos algarismos romanos. Mas sim porque o sistema tinha muitas limitações, como a ausência do zero, essencial para fazer contas. Ou seja, calcular era para poucos.


As operações aritméticas são mais novas no Ocidente que diversos conhecimentos sobre geometria e matemática, como os teoremas dos gregos Pitágoras e Tales. Catedrais da Europa medieval, como a Notre-Dame de Paris, além da própria torre de Pisa, foram construídas com base em cálculos muito mais difíceis de realizar sem o suporte dos atuais algarismos. E, se era mais complicado para obras de reis e papas, não era mais fácil para o homem simples. Pelo contrário. Na Idade Média, os europeus se viravam contando nos dedos e lendo algarismos romanos. E o que mais se aproximava de uma calculadora era um instrumento rústico chamado ábaco (veja mais no boxe abaixo).

Mas a situação começou a mudar no século 12. Para a sorte da cidade toscana, havia ali um matemático chamado Leonardo de Pisa. Ele se tornaria mais conhecido pelo apelido Fibonacci, nome de uma sequência numérica aplicada na biologia, nas artes plásticas e em outros campos (veja mais na pág. 70). Porém, pesquisadores começam a repensar o lugar de Leonardo na história. É graças a ele - e aos matemáticos que o seguiriam - que hoje temos uma das maiores invenções da humanidade: os algarismos indo-arábicos.

Pré-história do número

Em um dos famosos quadrinhos Calvin & Haroldo, de Bill Watterson, o pai do menino pergunta o que ele queria ser quando crescer. Calvin desejava, como quase todo garoto da sua idade, algo longe da matemática. Refletiu sobre como ter uma vida 100% ausente de números, esses torturadores de crianças nas escolas. "Vou ser um... um... homem das cavernas!", respondeu. Ele chegou perto. Só que até mesmo os homens primitivos dependiam de cálculos e números para sobreviver. Saber que 1 antílope era mais fácil de caçar do que 4 era essencial.

Pequenas quantidades são percebidas diretamente tanto por humanos quanto por outros animais. Uma galinha sabe se sua ninhada foi mexida, por exemplo. Isso se chama percepção numérica. A contagem, entretanto, é um atributo humano, intimamente ligado ao desenvolvimento da inteligência.

Não se sabe quando o homem começou a medir coisas de forma quantitativa. Não sabemos nem quem veio antes, se números cardinais (1, 2, 3) ou ordinais (1º, 2º, 3º). Alguns antropólogos defendem que a contagem se desenvolveu especificamente para lidar com necessidades simples do dia a dia - o que indica que os cardinais apareceram antes. Outra corrente sugere que os números podem ter sido inicialmente relacionados a rituais que exigiam ordem de aparição. A primeira estrela a surgir no céu ou a segunda colheita após a chuva, por exemplo.

O método de contagem mais antigo é o do osso ou do pedaço de madeira entalhado. Os primeiros testemunhos arqueológicos conhecidos dessa prática datam do período aurignacense (35 mil a.C. a 20 mil a.C.). Outras evidências também comprovam que o homem registrava quantidades com representações de argila e nós em cordas. Um objeto de argila encontrado no Peru, por exemplo, pode ter significado uma contagem de cabeças de gado.

As primeiras noções de quantidade com que o homem começou a lidar foram as mais próximas de sua realidade. Logo, 1 e 2 são os números mais antigos. De 3 em diante, era tudo uma mesma quantidade disforme que representava muita coisa. Não importava se era 50 ou 500. Não havia essa distinção. Ou seja, um é pouco, dois é bom, três é demais. A famosa expressão representa a antiga relação do homem com os números. Os sumérios, em 3 mil a.C., usavam o termo es para representar 3 e ao mesmo tempo "muitas coisas". Não havia definição para 4 em diante.

A própria noção de que um número representa uma quantidade específica levou séculos para ser absorvida. Dois são 2, não importa se são 2 ovos, 2 elefantes ou 2 ônibus. Mas, até hoje, alguns idiomas contêm traços dessa antiga separação entre a quantidade e o número específico para representá-la. E isso é intrinsecamente ligado à cultura e ao cotidiano de um povo. Em Fiji, arquipélago no Pacífico pouco menor que Sergipe, cocos e barcos fazem tanto parte da cultura local que existem palavras diferentes para a mesma quantidade deles. Por exemplo, 10 cocos é koro e 10 barcos é bolo.

Calcular faz parte do cotidiano do homem. A verdadeira revolução, portanto, está na forma de fazer cálculos. Uma novidade que chegou ao Ocidente há menos de mil anos. "Talvez por ser fruto de práticas coletivas, essa história não poderia ser atribuída de modo preciso a ninguém", explica Georges Ifrah, autor de A História dos Números - Uma Grande Invenção.

Até então, havia diferentes sistemas numéricos, criados por diferentes civilizações, como as mesopotâmicas, maia, egípcia, grega e chinesa. Todos com uma coisa em comum: desordem. Esses sistemas tinham um nome ou objeto diferente para cada número. Ou seja, teoricamente, eram modelos com símbolos infinitos. E, por razões práticas, nenhum método assim sobrevive por muito tempo. Essa dificuldade de escrever números grandes também prejudicava a adição, a subtração, a multiplicação e a divisão. Foi aí que, na Índia do século 5 a.C., surgiu a base decimal, ou seja, a noção de que números podem ser arrumados hierarquicamente, usando-se apenas 10 símbolos. Por exemplo, apenas com o símbolo 5 pode-se representar infinitos números: 55, 555, 5555 e assim por diante. Não era mais necessário um símbolo para cada número.


Como definir o valor desses símbolos postos lado a lado? Depende da posição em que cada um está, da direita para a esquerda: casa das unidades, dezenas etc. Ideia simples e funcional, que eu, você e todo mundo sabe. Mas que demorou 1,7 mil anos para se espalhar. "A Europa teve de esperar Leonardo de Pisa para aprender a contar direito", diz o inglês Keith Devlin, autor de The Man of Numbers: Fibonacci’s Arithmetic Revolution ("o homem dos números, a revolução aritmética de Fibonacci", inédito em português).

Mas por que a base é decimal e não quinzenal? Na verdade, houve outras bases. A base 20 já foi popular na Europa Ocidental, por exemplo. Até hoje, em francês, 80 é quatre-vingts ("quatro vintes"). Alguns povos, como os sumérios, em 4000 a.C, optaram por organizar seres e objetos em grupos de 60. "Esse sistema sobrecarrega o cérebro, já que requer um símbolo para todos os números de 1 a 60", diz o astrofísico Mario Lívio, autor de Deus É Matemático? Mesmo assim, a forma suméria deixou um legado que perdura até hoje, na divisão da hora em 60 minutos de 60 segundos cada um. Já se perguntou por que depois de 4h59 não é 4h60, mas 5h? Culpe os sumérios. Mas foi a base decimal que deu mais certo e conquistou o mundo. Muito provavelmente por causa de um motivo trivial. Ela teria sido inspirada nos 10 dedos da mão, e mão é a primeira coisa que o homem usou para calcular. Por isso ela parece tão natural. Agrupamos números em 10, 100, 1 000 porque não poderia ser mais prático.


Leonardo e os árabes

Os algarismos que usamos atualmente são uma herança indiana transmitida pelos árabes. No século 7, o islamismo expandiu-se em todas as direções, entrando em contato com diversas culturas, o que significou um avanço científico tremendo. Eles estudaram e traduziram obras de filósofos e matemáticos gregos e, ao conquistar a Índia, reconheceram a importância do sistema numérico hindu, que já tinha mais de mil anos de uso. E propagaram o novo conhecimento ao longo de seus domínios. O que não incluía a maior parte do continente europeu.

Havia dois tipos de matemáticos na Europa do século 12: os de escolas religiosas ou universidades e os que exerciam atividades de comércio e negócios. É neste último grupo que Leonardo de Pisa se inseria. Ele viveu por algum tempo com seu pai, um funcionário de comércio e alfândega, em Bugia, na atual Argélia, e viajou para países como Grécia, Egito e Síria, onde teve a oportunidade de estudar e comparar diferentes métodos de operações numéricas. Em contato com o sistema utilizado pelos mercadores árabes, Leonardo aprendeu uma maneira mais eficiente para calcular. O sistema desenvolvido na Índia era muito mais simples do que o romano.


"Estes são os 9 símbolos hindus: 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1. Com eles, mais o símbolo 0, que em árabe é chamado zéfiro, qualquer número pode ser escrito." Com essas palavras introdutórias, Leonardo de Pisa publicou, em 1202, o Liber Abbaci. A obra, traduzida como Livro do Cálculo, apresentou à Europa as operações de somar, subtrair, multiplicar e dividir, usando a novidade dos algarismos. Não foi o primeiro livro escrito no continente para descrever o novo sistema numérico. Mas foi o mais influente e acessível, o que fez toda a diferença.

Ao facilitar os cálculos que faziam parte do cotidiano das pessoas, Leonardo democratizou o conhecimento matemático. Agora, era muito mais simples fazer contas, sem depender de um especialista em ábaco. Leonardo teve o cuidado de explicar os conceitos com exemplos da vida cotidiana comercial: preço de bens, cálculo de lucros e as conversões entre as diferentes moedas. "As pessoas comuns que queriam fazer negócios passaram a fazer contas sozinhas. E isso foi graças à nova forma de calcular apresentada por Leonardo", explica Devlin. "Naquela época, ainda sem imprensa, a divulgação era boca a boca. Muitas cópias do livro, feitas a mão, foram armazenadas em grandes mosteiros. Os interessados tiveram que lê-las lá, como obras de referência", diz. "E, depois que Liber Abbaci saiu, centenas de pessoas escreveram obras derivadas. Elas passaram a ter seus próprios livros sobre aritmética, com aquilo que lhes interessava."

A técnica popularizada por Leonardo ficou conhecida como numeração de al-Khowarizmi, em homenagem ao matemático árabe Mohamed Ibn Musa Alchwarizmi, que em 820 escreveu sobre a arte hindu de calcular. Com o tempo, o nome mudou para algorismi, que em português virou "algarismo".

Entretanto, os numerais indo-arábicos não foram aceitos prontamente pelos europeus e chegaram a ser proibidos pela Igreja. Ela chegou a espalhar que, de tão engenhoso, o cálculo árabe era demoníaco. Além disso, os praticantes do ábaco estavam preocupados com seu ganha-pão. "Não queriam ouvir falar desses métodos que colocavam operações aritméticas ao alcance de todos", explica Ifrah. Mas a essa altura já era um caminho sem volta. Os algarismos trouxeram desenvolvimento à Europa medieval e tiveram importância na transição para a Idade Moderna. Mesmo com todas essas vantagens, a campanha contrária, somada ao costume arraigado nas pessoas comuns de persistir usando o sistema numérico romano, atrasou por séculos a vitória definitiva do algarismo. Durante esse período de transição, houve uma grande rivalidade entre os "abacistas" - aqueles que eram especialistas em cálculo com o ábaco - e os "algoritmistas" - os que privilegiavam o cálculo por meio do novo sistema. Um embate que terminou somente no século 16, com a vitória dos algarismos. Naquela época, eles já estavam bastante estabelecidos e foram essenciais para as épicas viagens marítimas de Cristóvão Colombo, Vasco da Gama, Pedro Álvares Cabral e Fernão de Magalhães. É claro que houve grandes expedições nos mares antes. Vikings e chineses, por exemplo, exploraram os oceanos Atlântico e Pacífico, respectivamente. Mas o conhecimento dos algarismos indianos proporcionou o desenvolvimento da astronomia e da navegação na Europa, o que permitiu viagens muito mais bem organizadas e planejadas. Mesmo assim, o ábaco resistia. O ensino do instrumento só foi abolido de uma vez por todas nas escolas com a Revolução Francesa, em 1789.


Os historiadores e os matemáticos que pesquisam e analisam o legado de Leonardo de Pisa colocam a invenção do atual sistema de numeração indo-arábico no mesmo nível de importância que a invenção da roda. É graças a ela que a matemática e a engenharia puderam avançar. Graças a ela a computação e a internet nasceram. Leonardo de Pisa conseguiu, com a abordagem certa, convencer a Europa a fazer contas de maneira melhor. Como definiu o escritor David Hutter, os algarismos são a coisa mais próxima de uma linguagem humana universal.